4 Derivata 1 Deriverbar medför kontinuerlig, men ej tvärtom 2 Deriveringsregler 3 Tolkning: förändring, linjär approximation etc 4 Medelvärdessatsen och följdsatser 5 Derivataundersökning för max/min etc etc 6 Taylors formel 7 Implicit derivering 8 Diffekvationer, andraderivatan, asymptoter mm Lars Filipsson SF1625 Envariabelanalys

Medelvärdessatsen med följdsatser Sats. Om f är kontinuerlig på [a;b] och deriverbar på (a;b) så ﬁnns en punkt c mellan a och b sådan att f0(c) = f(b) f(a) b a: Följdsats 1. Om f0(x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt växande i I. Följdsats 2. Om f0(x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt avtagande i I.

a) Formulera medelvärdessatsen för derivator. (1p) b) Visa med hjälp av satsen i a) att p 1+x < 1+ 1 2 x för x > 0. (2p) 6. Ange samtliga komplexa tal som uppfyller sambandet z2 2iz +3 = Rez +2Imz: 7. a) Ange och bevisa formeln för beräkning av integralen R pf0(x) … tillämpningar av derivator.

Medelvärdessatsen för derivator

För deriverbara funktioner läggs särskilt vikt vid en deriveringsteknik baserad på räkneregler och standardderivator, där räknereglerna förväntas kunna visas för x 6= 0 0 för x = 0 4. a) Formulera satsen om derivatan av sammansatt funktion (sk kedjeregeln). (1p) b) Derivera följande funktioner i) cos 1 1+x2 ii) ln x+ p x2 +7 (1+1p) 5. Rita grafen till funktionen f(x) = x2 x 2 med angivande av alla dess extrempunkter, asymptoter och intervaller av konvexitet och konkavitet. 6.

(1p) b) Visa med hjälp av satsen i a) att p 1+x < 1+ 1 2 x för x > 0.

Några derivator Reglerna (och annat) används för att bestämma derivator: d dx C = 0; C konstant; d dx x = 1 d dx 1 x = 1 x2 d dx xr = rxr 1 d dx sinx = cosx; d dx cosx = sinx Dessa plus derivator av elementära funktioner måste sitta som rinnande vatten! Envariabel SF1625: Föreläsning 4

Kapitel 2.6 :: Högre ordningens derivator; derivatan av derivatan osv. b) Bevisa, med hjälp av medelvärdessatsen, att om en funktion definierad på ett intervall har en derivata som är positiv så är funktionen strängt växande.

Hej fråga Lund.Jag undrar om ni kan hjälpa mig med två problem viktiga för mig.Det ena gäller hur man deriverar ett polärt uttryck.Jag behöver kunna räkna ut andra derivatan av V=DR(Rr+RD0*o)Där R=radien,r=enhetsvektor, D=derivata, 0=täta,o=enhetsvektorn täta,Alltså hur bestämmer jag …

Kort om derivator (sid 100-103). Repetition från I fjärde steget används medelvärdessatsen för integraler. I femte steget b a Medelvärdessatsen säger att det finns minst en punkt (c, f(c)) med en tangent parallell med sekanten. 7 40 7 TILLÄMPNINGAR PÅ DERIVATA ( π Eempel 7.3 Den sats som brukar kallas medelvärdessatsen är differentialkalkylens medelvärdessats. Men det finns också en sats som kallas integralkalkylens F8: Mer derivator.

8 May 2021 8 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer 9 May 2021 9 Föregående månad Nästa månad I dag Klicka för att visa händelsedetaljer Kursens uppgifter viktas inte. Derivator och deriveringsregler Derivator och integraler lösningar, Matematik 5000 4. Ladda ner Mathleaks app för att få tillgång till lösningarna Avdelningen för ämnesdidaktik och matematik 2014-07-01 2014-04-11 Allmänna data om kursen Syfte Den studerande ska under kursen tillägna sig grundläggande insikter och färdigheter i funktioner av en reell variabel, i synnerhet differentialkalkyl och tillämpningar av derivator. Progression (A) bonuspoängen. Tider för dessa meddelas senare.
Sakerhetskontroll arlanda

Om f är kontinuerlig på [a;b] och deriverbar på (a;b) så ﬁnns en punkt c mellan a och b sådan att f0(c) = f(b) f(a) b a: Följdsats 1. Om f0(x) > 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt växande i I. Följdsats 2. Om f0(x) < 0 för alla x i ett intervall I, så är f strängt avtagande i I. Vidare behandlas regler för att beräkna derivator och gränsvärden av summor, produkter, kvoter och sammansättningar av elementära funktioner.

F8: Mer derivator. 3. bestämma en funktions derivata utifrån 4. visa medelvärdessatsen, samt kunna tillämpa den och innehållet i punkterna 1-3 på problem som innefattar skattningar och feluppskattningar av funktionsvärden, bestämning av extremvärden, optimering, kurvskissning 5.
Psykolog harnosand

på sidorna 105 - 106) samt medelvärdessatsen (Sats 5.3.5 på sidan 111) med På sidorna 104-105 härleds deras derivator i 5.2.6 - 5.2.8. Avsikten är att själv

SATS 1: Dex = ex. LOGARITMFUNKTIONEN: Vi minns standardgr¨ansv¨ardet ln(1+t) t → 1 d˚a t → 0. Ur detta kan vi h¨arleda foljande. SATS 2: D lnx = 1/x f¨or x > 0.

För att beräkna ((x+3)/(x-2))' i punkten 3 kan man antingen derivera funktionen och beräkna derivatans värde Strikt olikhet för x>e följer av medelvärdessatsen .

Inflektionspunkt? Extrempunkt? Maximum, minimum? Hur använder man f' och f'' samt asymptotberäkningar för att rita funktionskurvor? Vad är en konvex funktion? En konkav funktion?

Ur detta kan vi h¨arleda foljande. SATS 1: Dex = ex. LOGARITMFUNKTIONEN: Vi minns standardgr¨ansv¨ardet ln(1+t) t → 1 d˚a t → 0. Ur detta kan vi h¨arleda foljande. SATS 2: D lnx = 1/x f¨or x > 0. F8: Mer derivator.